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两人看看李纵所写下的面积,又看了看李纵。
按照他们的理解,只要字母中间不写东西的,都做乘法运算。那难不成这条式子的意思是用f(x)去乘dx,问题是这个dx又是什么意思。
上面可没有d这个字母。
不过张公绰还是试探着问道:“难不成……”
但话说到一半,张公绰便又停了下来。
“老夫还是不太能够理解,这图形的面积该如何求。”
李纵知道张公绰有点被现实束缚住了,也是提醒道:“这个dx的意思,就是一滴滴的x的意思。”
李纵说这话的同时,还用手指比了一段很小很小的距离给他看。
张公绰立刻就脱口而出,“难不成,你是想用割方条术?”
“什么?什么割方条术?”恒巽也是立刻问道。
张公绰便道:“如果把这个dx比作是一小段的距离,那么这个f(x),就是它的高。底乘高,正是面积。”
“但……”
他紧接着又低着头犹豫了下。
李纵却是道:“没错!虽说你说的这个割方条术还不是很准确,但是,我们就是把这个图形,看成是一条条的铅垂线段,而且这条铅垂线段的底,正常来说,我们都会认为线是没有宽度的,但现在我们认为它有一滴滴的距离,而这个一滴滴的距离,就是dx。”
“所以这里的f(x)dx的意思,就是你原本所想的那样,即是底乘高的意思。”
张公绰却道:“可这样……这条线上,不是每一处……那这个要怎么加起来?”
李纵便道:“之前不是教过你们∑符号吗?这个弯曲的像蛇一样的符号,∫,它的意思就是求和。那为什么不用前面的那个,这就涉及到,两者求和的意义不同。”
“前者是对离散的,像1、2、3、4这样的,一个一个加在一起的求和,而∫是对任何实数,而且是连续分布的数的加起来一起。”
“比如说,在1跟2之间,会有一个根号2,也就是2的开方,它比1大,比2小,而反应在我们这个图形上,显然,虽然我们看不到,但它肯定是有的,我们要把这个也算上。而不能去跳过那些在1跟2之间的数。”
“然后,剩下还有两个数,一个是a,一个是b,下面的a,表示我要求和的起点,上面的b,表示我要求和的终点。就这问题而言,这个求和是有边界的,而a、b在这里表示的就是求和的边界。”
“所以整条式子的意思就是,在这个图形中,它的面积就等于从a到b这个区间,把所有这些底只有一滴滴距离,大小为dx,高度是f(x)的铅垂线的面积,现在我们按照面积公式,把它的面积全部都加起来。”
“然后!这条式子我们就说它是这个图形的面积公式。”
“那么问题来了,虽说我们定义了这些内涵,让这个式子赋予了很直白很简单易懂的含义,接下来我们只要能够算出这条式子,那么我们就能知道这个图形的面积。”
“可是……这些都是我们直接说它就是这样的,我们其实并不知道它是怎么算的。”
“这个一滴滴的距离dx,我们不可能真的一滴滴加起来。在现实中,这样的事情我们是办不到的。”
“所以接下来怎么办!”
“怎么办?”两人又是瞪大着眼睛看着他。
李纵袖子一捋,却是道:“我们先把这个放一放,接下来我们再学学另一个概念。”
“我们假设有λ=x(t)这么一个函数。”
“t,我们代表的是时间,单位是……随便,比如说一个时辰。”
“x,我们代表的是位置,比如说,假设我们在路上每隔一段距离,比如说十里路,就设置一个路标,上面写着这里的里程数,比如说,从出发点,0,然后是10、20、30这样,而在它们中间,当然可能也有我们之前讲到的那些类似于不是一个整数的,比如说根号2里。”
“总之,这些都不管,那x的单位就是:里。”
“然后我们想象一下,当一个人在这么一段路上走的时候,他是不是每一个时间点,都对应着一个里数。”
“现如今我们再定义一个速度的概念,什么是速度,就是路程除以时间。”
“好比说:你们两位,现如今离家有三十里,然后回去的话,走路回去的话,要三天。”
“那么我们就说,你们回家的平均速度,就是三十里除以三天,每天走十里路。”
“现在我们再假设一下,我们要是不想知道得这么粗糙,我们要想知道的是,你们二人每一瞬间,不是一天的平均速度,而是每一个瞬间的速度,这个式子又要如何表示?”
“按照前面的例子,是不是就是,如图。”
“dx除以dt,在一滴滴的时间之内,走了一滴滴的路。然后单位是,按照上面单位,结果就变成了人的瞬时速度是里/时辰。”
“通过这个式子,我们是不是就可以求得,某个人在某一瞬间很短很短的时间之内,他的速度。”
“当然!自古以来,就有一个诡论,那就是假设把我们动的这个时间跟位置记录下来,画下来,而且我们假设它可以被画下来,那么,假如说每一瞬间,我们在画上都没有动过,那我们是怎么从一个地方移动到另一个地方的。”
“其实实际情况自然是,我们不可能在每一瞬间都没有动,我们还是会动的。”
“而接下来我们说的这个,就是为了解决这个问题,如下所示:”
图。
“我们计算速度,有这么一条公式,移动过的距离x(t)-x(a),除以时间变化t-a,那我们要想知道,我们在很短很短的时间,我们的速度,虽然我们已经有了上面这个式子,可问题是,这个很短很短的时间到底是多少。”
“有人说,很短很短的时间是眨一下眼的功夫,也有人不同意,说很短很短的时间是喜鹊扇一下翅膀所需要的时间,那么,我们该如何定义这个很短很短的时间,才能够让所有的人都信服。”
“那我们就可以让这个式子当中的t=a,t=a的意思,就是说,我让t就是a,这样大家面对这个很短很短的时间,就不会说,t-a到底是不是就是已经很短很短了。”
“因为我们让t=a,那就已经是变得不可再短了,是也不是?”
“但是在数术上,如果让t=a,我们没有办法把这个式子算出来。”
“上面是零,下面是零,零除以零等于多少?可我们还是想让这个式子能被算出来。”
“所以,在这里,我们再次引入一个新的符号,来表示我们接下来要做的事。”
图。
“我们就用这个形式写出来,表示我们接下来要做的事。”
“而且,我们将这个过程,称之为微分。”
“至于前面我们说的面积求和,则是积分。”
“那么问题来了,这两个东西加起来,合称‘微积分’,接下来要怎么用。”
“我们还是刚刚的例子,计算瞬时速度,也就是在一段很短很短时间的速度,这个速度是通过路程除以时间,微分得来的。”
“微分所记录的是每一个很短很短的时间,人所走过时的速度。”
“现在我假设,之前积分的图,这就是人在很短很短时间的速度的变化的坐标图。”
“现在我要求,人在某一段时间之内,也就是由a到b,他移动了多少路程,该怎么求?”